[noch'n Rätsel] Das etwas andere Schachproblem

[El-Mo]

Jetzt will ich auch mal

Man nehme ein ganz normales Schachbrett (also mit 8x8=64 gleich großen quadratischen Feldern). Zufällig (hört, hört!) findet man daneben Dominosteine, die genau so dimensioniert sind, dass sie zwei benachbarte Schachfelder abdecken. Wieviel solcher Dominosteine sind nötig, das Schachbrett vollständig zu bedecken?
Na, gut: ich mach's etwas schwieriger :wink:
Nun werden zwei gegenüberliegende Schachfelder aus dem Brett heraus gebrochen (also meinetwegen A1 und H8). Es sind also noch 62 Felder übrig, und man sollte mit 31 Dominosteinen auskommen, um das Brett vollständig zu bedecken. Die Frage: Geht das überhaupt? Wenn ja, wie, und wenn nicht, warum nicht?

[v6ph1]

Es geht nicht.
Der Grund liegt bei folgendem: Die beiden entfernten Felder liegen auf einer Diagonalen und besitzen demzufolge die gleiche Färbung (oBdA: Schwarz).
Ein solcher Stein, deckt aber nur zwei benachbarte Felder ab, also jeweils ein Weißes und ein Schwarzes. Da wir aber Nur 30(Schwarze)+32(Weiße) Felder haben, geht es nicht, da die 31 Steine nur je 31 Schwarze und Weiße Felder abdecken.
Funktioniert übrigens mit allen verallgemeinerten Schachbrettern der Größe n*n
Für das leichte Beispiel mit allen Ecken funktioniert es natürlich - mit 32 Steinen.


mfg
v6ph1

PS: Auch trivial

[El-Mo]

Mmh, Du möchtest etwas Nicht-Triviales!?!
Sicher kennst Du den 4-Quadrate-Satz: Jede ganze Zahl lässt sich als Summe von maximal 4 Quadraten schreiben.
Sei also e der ganzzahlige positive Exponent, S(e) die Zahl der maximal notwendigen e.ten Potenzen, eine beliebige natürliche Zahl derart als Summe zu bilden (hier also S(1)=1, S(2)=4, S(3)=9, S(4)=...)
Welche Werte nimmt diese Folge an und welcher Bildungsregel unterliegt sie?

[v6ph1]

S(4)=19.
S(5)=37,...

S(x) = 2^x + Floor(1,5^x) - 2

Nennt sich auch Waringsches Problem.
Die Folge der S findet sich auch in der Online-Enzyklopädie der Integer-Sequenzen als No. 2804 (http://www.research.att.com/~njas/sequences/A002804)

- v6ph1

PS: Floor = Abrunden.

[Snitlev]

mit was für Leuten habe ich es hier zu tun alles Zahlenfetichisten,
ich verstehe kein Wort von den Scheiß hier...

naja ich mache dann mal lieber wieder Rätsel die ich gemeinsam mit meiner Tochter lösen kann...

mfg